La banda de Moebius (Möbius)

La banda o cinta de Moebius (Möbius), co-descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858, constituye, junto con la botella de Klein, una de las estructuras matemáticas que más me fascinan por las curiosas y peculiares características que presenta.

Se trata de una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene además la propiedad matemática de ser un objeto no orientable y también de ser una superficie reglada.

Detallo estas interesantes propiedades:

1. Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

2. Tiene sólo un borde:

Lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, notando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.

3. Esta superficie no es orientable:

Una persona que se desliza tumbada sobre una banda de Moebius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

4. Otras propiedades:
Si se corta una cinta de Moebius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino que se obtiene una banda más larga pero con dos giros. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas

Éste documento gráfico lo demostrará mucho mejor que la descripción antes expuesta ya se sabe, “una imagen vale más que...”

La construcción de una cinta de Moebius es sencilla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.

Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología, y ha sido utilizado ocasionalmente en el arte. El extraordinario artista Maurits Cornelis Escher, un ser de otro mundo, lo plasmó en algunas de sus enigmáticas obras.

Cinta de Moebio II, xilografía de 1962

Análoga a la banda de Moebius es la botella de Klein, pues también tiene sólo una superficie, donde no se puede diferenciar entre “interior” y “exterior”. De este artilugio escribiré en otro post.

Por último comparto con ustedes una divertida animación que, en cierta manera, hace referencia a la cinta de Moebius.